Гнатюк В.И. Закон оптимального построения техноценозов, 2005

Гнатюк В.И. Закон оптимального построения техноценозов, 2005 – главная страница

Адрес монографии в сети – http://gnatukvi.narod.ru/ind.html

5.1.4. Аппроксимация ранговых распределений

Метод аппроксимации наименьших модулей. Линейный метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов. Оценивание результатов аппроксимации.

С точки зрения последующей статистической обработки данных, большое значение имеет аппроксимация эмпирических ранговых распределений. Ее задача заключается в подборе аналитической зависимости, наилучшим образом описывающей совокупность точек. Мы задаем в качестве стандартной двухпараметрическую гиперболическую форму, описанную в параграфе 2.1. Аппроксимация может осуществляться различными методами, каждый из которых обладает как достоинствами, так и недостатками. Учитывая высокую скорость расчетов в среде Mathcad-2001, в данной программе аппроксимация будет осуществляться сразу несколькими методами. После этого автоматически будет выбираться наиболее корректный вариант.

Аппроксимация рангового распределения производится после специальной обработки статистической информации по техноценозу, которая должна быть осуществлена программными средствами Mathcad (см. п. 5.1.1 – 5.1.3). Следует напомнить, что по результатам первичной обработки в первой расчетной программе формируются рабочие файлы с расширением «md», размещенные в директории «c:\mathcad_dat», которая должна быть заблаговременно создана в корневом каталоге диска «c:\».

Метод наименьших модулей

В качестве критерия близости искомой функции в данном методе используется минимум суммы модулей разностей эмпирических и теоретических данных, рассчитанных по уравнению регрессии. В качестве первой операции программы задается начало отсчета и считывается из рабочих файлов исходная информация. При этом формируются следующие матрицы: рангов R и табулированного рангового распределения V [14,34].

Далее осуществляется ряд специальных подготовительных операций, включающих индексацию и транспонирование матриц.

После этого задается аппроксимационная форма и определяется целевая оптимизационная функция метода наименьших модулей с начальными приближениями.

Поиск минимума функции «Ф» осуществляется с использованием встроенной функции «Minimize», в которой реализуются алгоритмы оптимизации, основывающиеся на итерационных вычислениях с использованием квазиньютоновского метода или метода сопряженных градиентов [1,23,24,68] (выбор осуществляется в контекстном меню программы). Оба итерационных метода основываются на последовательном приближении к точке минимума. По результатам оптимизации определяется вектор m (параметры аппроксимационного выражения). При этом аппроксимация данных осуществляется отдельно по каждому временному интервалу (повекторно).

Далее появляется возможность вывести результаты аппроксимации в графической форме (рис. 5.8).

Рис. 5.8.

Ранговое параметрическое распределение техноценоза:

абсцисса – ранг объекта;

ордината – электропотребление, кВт·ч;

точки – эмпирические данные;

сплошная линия – аппроксимационная кривая,

полученная методом наименьших модулей

Линейный метод наименьших квадратов

Известно, что функция может быть линеаризована посредством логарифмирования. Это позволяет при аппроксимации эффективно применять линейные регрессионные методы, которые продемонстрированы в теле программы ниже.

Вводим формальные параметры, логарифмируя вектор рангов и эмпирические данные:

Вычисляем коэффициенты линейной регрессии при помощи метода наименьших квадратов матричным способом:

Получив значения коэффициентов регрессии, вычисляем их для первоначальной нелинейной функции и восстанавливаем первоначальную зависимость:

Строим линеаризованные графики (рис. 5.9):

Рис. 5.9.

Линеаризованное ранговое распределение техноценоза:

абсцисса – логарифм ранга объекта;

ордината – логарифм электропотребления, ln(кВт·ч);

точки – эмпирические данные;

сплошная линия – аппроксимационная прямая, полученная

линейным методом наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов нашел к настоящему времени наибольшее применение среди исследователей, занимающихся объектами техноценологического типа. Несмотря на целый ряд недостатков, присущих данному методу и вызывающих справедливую критику в современной литературе, он остается наиболее эффективным, т.к. позволяет получать вполне удовлетворительные результаты при сравнительно невысокой погрешности. Суть метода заключается в отыскании параметров аналитической зависимости, которые минимизируют сумму квадратов отклонений эмпирических значений (реально полученных в ходе рангового анализа техноценоза) от значений, рассчитанных по аппроксимационной зависимости, подробно разобранной в параграфе 2.1.

Ниже приводится текст подпрограммы, которая вычисляет коэффициенты регрессии. Входными аргументами функции Т являются векторы параметрического распределения V (для одного временного интервала) и рангов R.

При необходимости вычислить коэффициенты регрессии для всех распределений за рассматриваемый интервал времени, можно применить подпрограмму и построить график (рис. 5.10).

Рис. 5.10.

Ранговое параметрическое распределение техноценоза:

абсцисса – ранг объекта;

ордината – электропотребление, кВт·ч;

точки – эмпирические данные;

сплошная линия – аппроксимационная кривая,

полученная методом наименьших квадратов

Примечательно, что оба метода наименьших квадратов (линейный и нелинейный) дали очень близкие результаты аппроксимационных параметров. Это позволяет в дальнейшем при сравнении с методом наименьших модулей использовать только нелинейный метод наименьших квадратов (как более корректный).

Полученные данные необходимо сохранить в файле следующей командой:

Оценивание результатов аппроксимации

С целью выбора наиболее эффективного метода аппроксимации полученные выше результаты статистически сравниваются. Для этого оценивается истинная ошибка:

В данном случае есть основания признать более корректным метод наименьших квадратов (значение переменной «МНК» существенно меньше «МНМ»). Результирующая аппроксимационная зависимость определяется средствами Mathcad с использованием специальной подпрограммы:

Таким образом, получаем наилучшие параметры для аппроксимационной зависимости:

Ниже изображен ее график (рис. 5.11).

Рис. 5.11.

График результирующей аппроксимационной кривой параметрического распределения техноценоза:

абсцисса – ранг объекта;

ордината – электропотребление, кВт·ч

При использовании материалов ссылки обязательны

E-mail: gnatukvi@mail.ru